El cálculo analógico.

Es conveniente distinguir tres clases de equipos para realizar cálculo analógico numéricos, los cuales pueden realizarse por medios mecánicos, eléctricos y electrónicos. Son sistemas que funcionan traduciendo números en cantidades físicas, en escalas especificados y luego operando con estas cantidades, se mide alguna cantidad para obtener el resultado requerido.

Un ejemplo de un medio electrico para realizar un producto x.y , se puede efectuar, ajustando una resistencia variable con una escala, la misma tiene el valor Ri [ohmios] a un determinado punto de la escala, ajustando la corriente a través de ella, tambien por medio de una escala, para tener el valor Ii en [amperios]  y midiendo la diferencia de potencial en voltios a través de la resistencia, la diferencia de potencial se obtiene de acuerdo a la ley Ohm Vi = Ii . Ri,  el generador de corriente continua puede ser de cualquier tipo, lo importante es saber su valor en [amperios],  al circular Ii por la resistencia variable Ri, produce entre los puntos a y b una diferencia de potencial Vi, medida por un voltimetro.

Todos los elementos que componen el sistema tienen sus repectivas escalas, por ejemplo si la corriente es de 0.001 [amperios] y la resistencia 1000 [ohmios] la diferencia de potencial es 0.001 [A] x 1000 [Ohm]= 1 [Voltios], el voltimetro actua y su aguja se deflecta en una determinada cantidad, en este caso la escala de la variable x, pueden ser numeros en un rango de 1 a 6, por jemplo, si se ajusta x en 1 se genera 0.001[A], si es 2 es 0.002 [A] y asi sucevamente hasta llegar a 6 que es 0.006[A], la escala de y esta en un rango de 1 a 6, por ejemplo, si se ajusta a 1 es 1000[Ohm], a 2 es 2000[Ohm] y asi susecivalente hasta llegar a 6 que es 6000[Ohm],  el voltimetro en general puede indicar 1 con una tension de 1[V], si indica 2 es 2[V] y asi susivamente hasta llegar a 6 que seran 6[V].

Las constantes del sistema son,

k1= Ri/xi =6000[Ohm]/6 = 1000 [Ohm]

k2= Ii/yi = 0.006 [A] / 6 = 0.001 [A]

k3 = Vi/zi = 6 [V] /6 =1 [V]

Vi = Ii . Ri

Vi = k2.yi . k1. xi

Vi = 0.001[A]. yi.1000[ohm].xi

si yi=1 xi=1

es Vi=1[V]

El analizador diferencial. The differential analyser

El analizador diferencial de Bush

Vannevar Bush, fue un ingeniero y científico estadounidense, que en la década de 1930 construyó una computadora analógica a la que llamó analizador diferencial, que era una máquina para la solución de ecuaciones diferenciales, ​en las computadoras analógicas se podían representar los números mediante variables físicas mecánicas, eléctricas o electrónicas, como ya se menciono y podía realizar automáticamente algunas operaciones elementales, utilizadas en muchas áreas, de la ciencia o la ingeniería.

Leibnitz  concibió la ideal hace más de doscientos años. Este sistema  que utiliza complejas interrelaciones mecánicas como sustitutos de intrincados procesos de razonamiento debe su origen a un inventor del cálculo , Leibnitz .

En el Departamento de Ingeniería Eléctrica del Instituto de Tecnología de Massachusetts, se desarrollo esta maquina, que permite el proceso de resolver ecuaciones algebraicas simultáneas complicadas tal como ocurren, por ejemplo, en el tratamiento de redes de energía, mediante mediciones de corriente alterna hechas en una réplica eléctrica del sistema de potencia. 

Se resuelve a la integral con un parámetro variable por un método óptico  sugerido por primera vez por Wiener. Esto le da un enfoque a la ecuación integral y a ciertos procesos de análisis estadístico. El dispositivo en sí se llama integraph fotoeléctrico. Luego se trata de la ecuación diferencial ordinaria y proporciona soluciones en forma de curvas trazadas para condiciones de contorno específicas, la máquina se llama analizador diferencial.

Integración Mecánica.

La integración mecánica hacia posible realizar una solución de las ecuaciones diferenciales y la generación de muchas funciones matemáticas Fue una de las las operaciones más importantes en el campo de la máquina de computación analógica y era un sistema difícil de realizar con precisión. La figura muestra esquemáticamente un disco integrador y una rueda, el giro del disco, frecuentemente llamado plataforma  giratoria, representan la variable diferencial x, con un factor de escala adecuado. La distancia de la rueda al centro plano central desde el eje de la plataforma giratoria representa el integrando y, de nuevo con algún factor de escala adecuado.

Estas son las dos entradas al integrador. Las vueltas de la rueda integradora representan el valor z de la integral con un factor de escala predeterminado por los dos factores de escala de entrada a la unidad. Este es el resultado del integrador. Una rotación del disco a través de una fracción infinitesimal de un giro dx hace que la rueda gire a través de una parte correspondientemente pequeña de un giro dz. Para una rueda de radio a,


La variable dz es proporcional al integrando y además a la inversa del radio a de la rueda, ya que cuanto mayor sea este el desplazamiento de z es mas chico.

Las siguientes fotos nos muestra cómo se armaron los mecanismos  de integración , era un analizador diferencial construido en la Universidad de Manchester, en el mismo hay un disco de acero y un mecanismo en forma de rueda, la primera foto nos muestra un solo integrador y la siguiente es un sistema compuesto por tres integradores,
 







Uso de la maquina.

Las cantidades de una ecuación son reprensadas por la rotación de varios ejes, estos están conectados a través del integrador y a otras unidades de la maquina, la relación entre la rotación es una translación en términos mecánicos de la ecuación a ser resuelta.

Considere por ejemplo la siguiente ecuación,

Al integrar la misma resulta,

El siguiente dibujo refleja el sistema armado para representar la ecuación, están presentes las dos entradas al integrador, las vueltas de la rueda integradora representan el valor z de la integral que es el resultado del integrador, hay un disco, indicado como un giro de la variable x, la salida del integrador f(z), es realimentada mecánicamente a una unidad de adición, [3], x + f(z), que mueve todo el disco por medio de engranajes, la salida de f(z), se representa en un graficador, hay una unidad que cumple una doble función, desplazándose horizontalmente para generar el valor de z y girando para realizar f(z), en la mesa de salida. 

Las siguientes fotos nos muestra algunos detalles de la máquina,[5],

en la siguiente foto se dibujaron los sentidos del disco y la rueda,

Un analizador diferencial elemental, capaz de integrar solo una ecuación, puede hacerse teóricamente teniendo una mesa de entrada I como se indica en la siguiente figura , un integrador D y una mesa de salida O. Un motor mueve a un seguidor de la curva, que esta en la mesa de entrada I por el eje x, a un gráfico , mientras que al mismo tiempo gira el disco integrador y conduce un lápiz a lo largo del eje x de la tabla de salida. El operador humano giraría la manivela sobre el seguidor de curva, de entrada, para mantener el puntero sobre el valor en el gráfico.
La salida del eje integrador C mueve el lápiz de salida hacia arriba y hacia abajo, registrando los resultados en papel cuadriculado. La mayor dificultad con este dispositivo simple es que no es adecuado para usar en sistemas complejos del mundo real donde los modelos matemáticos tienen varios pasos de integración secuenciales, es decir, el resultado de una integración debe usarse como entrada para la siguiente. La salida de la rueda de integración W no se puede conectar mecánicamente a otras unidades debido a que la fricción entre la rueda de acero con borde de cuchilla W y el disco giratorio de acero o vidrio D es tan pequeña que no tiene la fuerza para conducir una segunda etapa de dispositivos integradores. Lord Kelvin se dio cuenta de que su intento de crear un dispositivo analógico mecánico para resolver problemas relacionados con las ecuaciones diferenciales necesitarían algún tipo de dispositivo para amplificar la potencia (torque) que genera  el disco giratorio antes de que pueda acoplarse a cualquier otro sistema. Desafortunadamente, el conocimiento técnico de la época no permitió la creación de los mecanismos delicados y altamente precisos.


El problema finalmente fue resuelto en 1930 por Vannevar Bush, profesor del MIT. (Más tarde se convirtió en presidente del MIT y consejero muy influyente del presidente de los EE. UU. Durante la Segunda Guerra Mundial.) Bush comenzó a considerar el problema de cómo construir un mecanismo de integración mecánica cuando tenía que resolver algunas ecuaciones diferenciales relacionadas con una red de energía eléctrica. Después de pasar varios meses intentando resolver una sola ecuación, decidió que era mejor dedicar su tiempo a diseñar un mecanismo de cálculo analógico que pudiera resolver muchas de esas ecuaciones. Bush finalmente resolvió el problema de conectar varios integradores de rueda de disco para la solución de problemas reales cuando inventó un dispositivo que amplificaría el par en el eje rotativo ðCÞ, dando suficiente potencia para conducir otros dispositivos mientras permitía los movimientos delicados de la rueda integradora
El problema finalmente fue resuelto en 1930 por Vannevar Bush, profesor del MIT.  Bush comenzó a considerar el problema de cómo construir un mecanismo de integración mecánica cuando tenía que resolver algunas ecuaciones diferenciales relacionadas con una red de energía eléctrica. Después de pasar varios meses intentando resolver una sola ecuación, decidió que era mejor dedicar su tiempo a diseñar un mecanismo de cálculo analógico que pudiera resolver muchas de esas ecuaciones. Bush finalmente resolvió el problema de conectar varios integradores de rueda de disco para la solución de problemas reales cuando inventó un dispositivo que amplificaría el par en el eje rotativo C, dando suficiente potencia para conducir otros dispositivos mientras permitía los movimientos delicados de la rueda integradora.

El amplificador de par consistía en dos "tambores de fricción" que eran girados por correas unidas a motores eléctricos . Se conectó un eje de entrada a la rueda de borde de cuchillo de un integrador y eso, a su vez, empujaría suavemente un brazo de entrada. El ligero movimiento del brazo de entrada provocaría que la cuerda se apriete momentáneamente en el tambor de fricción derecho, provocando un tirón en el brazo de salida, lo que provocaría que el eje de salida girara con fuerza considerable. Ahora era posible tener varias unidades de integración con sus salidas amplificadas de potencia conectadas mecánicamente mediante engranajes y el resultado final conectado a una mesa de salida. El formato habitual era tener varias mesas de entrada (una para cada función que se integra) en un lado de la máquina. Como los operadores humanos seguían los gráficos con punteros (generalmente con la ayuda de lupas), la salida de estas mesas se usaría para colocar la rueda de borde de cuchillo a lo largo del radio del disco integrador. Las rotaciones del disco con filo de cuchillo se mejorarían con los amplificadores de torque y se alimentarían a una mesa de interconexión de engranajes y otros mecanismos . Estos mecanismos podrían sumar, restar e incluso multiplicar  dos cantidades y luego éstas, a su vez, se combinarían con otras hasta que se obtuviera el resultado final. El resultado generalmente se enviaba a una mesa de trazado para producir una representación gráfica en papel. Estas operaciones complejas fueron bien entendida. Por ejemplo, los engranajes necesarios para sumar dos conjuntos de valores (rotaciones) no son más que el mecanismo de engranaje diferencial utilizado en el eje trasero de los automóviles con tracción trasera. Sistemas de engranaje similares fueron utilizados para otros tipos de operaciones aritméticas. El único problema real era que los engranajes tienen reacción. Es decir, cuando se gira un engranaje, tiende a girar ligeramente en la dirección opuesta cuando se detiene. Esto condujo a imprecisiones en el resultado final que se volvieron más significativas a medida que aumentaba el número de engranajes de interconexión para problemas complejos. Este problema se resolvió usando engranajes con dientes especialmente formados.

Vannevar Bush examina la interconexion de los engranajes del analizador diferncial, en la ilustracion se aprecia los ejes de variables, por ejemplo, para resolver la ecuacion indicada.

En la siguiente foto se ven la cantidad de integradores usados en los calculos, los amplificadores de torque y los ejes de variables,

En la siguiente foto se ven las mesas de salida con los resultados de las diversas integraciones, los integradores y los ejes de variables,

Un ejemplo parcial de la programacion de la maquina se representa a continuacion,









Apéndice .

Ecuación diferencial.

Una ecuación diferencial es una forma de relacionar una función con sus derivadas. Las funciones son por ejemplo cantidades físicas y las derivadas son razones de cambio, la ecuación define la relación entre ellas. Las ecuaciones diferenciales se utilizan en diversas disciplinas, que incluyen la ingeniería, la física, la química, la economía, y la biología. A veces la solucion exacta no se puede hallar, se puede obtener numéricamente, utilizando una aproximación en computadoras analógicas o digitales.

Transmisión continuamente variable.

Como su nombre lo indica, una transmisión continuamente variable ofrece una variedad continua de relaciones, infinitamente muchas entre un valor mínimo y uno máximo. En la siguiente figura, se utiliza la fricción de los conos, a medida que la correa(en verde) se mueve continuamente de izquierda a derecha, el diámetro de entrada(en rojo) se reduce, su diámetro de transmisión de salida(en azul) se hace más grande.


Transmisión continuamente variable.

Como su nombre lo indica, una transmisión continuamente variable ofrece una variedad continua de relaciones de acoplamiento entre un valor mínimo y uno máximo. En la siguiente figura, se utiliza la fricción de los conos, a medida que la correa(en verde) se mueve continuamente de izquierda a derecha, el diámetro de entrada(en rojo) se reduce, su diámetro de transmisión de salida(en azul) se hace más grande.

Cualquier engranaje continuamente variable se puede usar como un mecanismo integrador. Supongamos que en esta figura, el rectángulo representa un mecanismo que tiene una relación de transmisión continuamente variable 1: n entre las rotaciones de los ejes de accionamiento(driving shaft) y y el eje accionado(driven shaft). Luego, para una rotación dx  del ejel de accionamiento(driving shaft), en relación eje accionado(driven shaft) es l: n, la rotación del eje accionado(driven shaft) es n.dx. Si la relación de transmisión n está cambiando a medida que el eje de accionamiento(driving shaft)  está girando, la rotación total del eje accionado es la suma de los elementos de rotación ndx; es decir, es ∫n. dx.

Referencias.

[1] Ecuaciones diferenciales, por medio de diferencias finitas, método de Euler y c++.

[2] THE DIFFERENTIAL ANALYZER. A NEW MACHINE FOR SOLVING DIFFERENTIAL EQUATIONS. V. BUSH

[3] Computing Mechanism, MIT 

Volume 27 - Computing Mechanisms and Linkages - Antonin Svoboda

[4]THE DIFFERENTIAL ANALYSER EXPLAINED

[5]Meccano Differential analyser at Motat Auckland New Zealand

Eduardo Ghershman, 11.3.2018