Ejemplo de la solución numérica de la ecuación del calor.

Este document esta basado en el trabajo de Roberto Salas, [1] y Alfa Teorema, [2].

Solución por diferencias finitas de la ecuación diferencial del calor a una dimensión.

Se quiere representar las derivadas través de diferencias finitas para poder pasar después a la solución de la ecuación del calor. 

Cuando nosotros tenemos una función f(x) cualquiera y queremos una aproximación a la derivada,  ante todos nos tenemos que acordar que es la derivada. La misma quiere decir, que, si nos mantenernos en un punto P y trazamos una línea tangente a la curva en ese valor de x que seleccionamos, luego medimos el ángulo que se forma con el eje horizontal y se calcula la tangente trigonométrica de ese ángulo, esto va a ser la derivada. La derivada de la función f(x) en el punto P es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto. La pendiente m es igual a la tangente de alfa. 

Muchas de las veces no se tiene a una función establecida con su fórmula como tal y sólo existen puntos que la describen, entonces se podría hacer algunas aproximaciones para la derivada, por ejemplo si tenemos la abscisa x1 en donde empieza a existir la función, una x2, una x3 y a cada una de ellas corresponde una ordenada , por ejemplo la y1, la y2 y  la y3 , como se ve en el siguiente dibujo, entonces podríamos decir que no tengo la gráfica pero quiero está derivada , no se tiene la fórmula de la función, no hay una expresión y solamente se tienen las ordenadas, como puede ser en un problema de muestreo o de cualquier otro tipo, entonces la derivada se puede aproximar, dos puntos de la abscisa , están separado entre ellos una distancia h, la aproximación de la derivada sería por ejemplo restar la y2 menos la y1 , dividiendo por h,  esta seria una primera aproximación de la deriva, podríamos hacerlo así o podríamos hacerlo de otra manera, combinandolas  para resolver nuestro objetivo que es la ecuación del calor.

En la siguiente figura se ve como se calcula una aproximación de la derivada en diferentes puntos de la gráfica.


Referencias.

[1] SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DEL CALOR A UNA DIMENSIÓN, Roberto Salas.

[2] Ejemplo de Solución Numérica de la Ecuación de Calor, Alfa Teorema.


Eduardo Ghershman, 5.3.2018